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2023/11/14 18:37

Minkovski's inequality

Let $f, g: \Xset \to \rset$ be two measurable functions on a measurable space $(\Xset, \Xsigma)$, and let $\mu$ be a non-negative measure on $(\Xset, \Xsigma)$. Then, for any $p \geq 1$, $$\lr{\int |f+g|^p \rmd \mu}^{1/p} \leq \lr{\int |f|^p \rmd \mu}^{1/p} + \lr{\int |g|^p \rmd \mu}^{1/p}.$$

Proof

Some alternative proofs can be found here.

Without loss of generality, we assume that $p>1$, $f, g \in \lp{p}(\mu)$ and $f, g \geq 0$ (the general case can be handled using the inequality $|f+g| \leq |f| + |g|$). For $s > 0$, define $$\varphi(s) = \lr{\int (f + s g)^p \rmd \mu}^{1/p}.$$ Then, $$\varphi'(s) = \lr{\int (f + s g)^p \rmd \mu}^{\frac{1}{p} - 1} \int (f + s g)^{p-1} g \, \rmd \mu.$$ Using Hölder’s inequality for the second term, we can bound $\varphi'(s)$ as follows: $$\varphi'(s) \leq \lr{\int (f + s g)^p \rmd \mu}^{\frac{1}{p} - 1} \lr{\int (f + s g)^p \rmd \mu}^{\frac{p-1}{p}} \lr{\int g^p \rmd \mu}^{1/p} = \lr{\int g^p \rmd \mu}^{1/p}.$$ Hence, $$\lr{\int (f + g)^p \rmd \mu}^{1/p} = \varphi(1) = \varphi(0) + \int_0^1 \varphi'(s) \, \rmd s \leq \lr{\int f^p \rmd \mu}^{1/p}+ \lr{\int g^p \rmd \mu}^{1/p}.$$ This completes the proof. 

2025/01/29 09:31 · rdouc

$$ \newcommand{\arginf}{\mathrm{arginf}} \newcommand{\argmin}{\mathrm{argmin}} \newcommand{\argmax}{\mathrm{argmax}} \newcommand{\asconv}[1]{\stackrel{#1-a.s.}{\rightarrow}} \newcommand{\Aset}{\mathsf{A}} \newcommand{\b}[1]{{\mathbf{#1}}} \newcommand{\ball}[1]{\mathsf{B}(#1)} \newcommand{\bbQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\bproof}{\textbf{Proof :}\quad} \newcommand{\bmuf}[2]{b_{#1,#2}} \newcommand{\card}{\mathrm{card}} \newcommand{\chunk}[3]{{#1}_{#2:#3}} \newcommand{\condtrans}[3]{p_{#1}(#2|#3)} \newcommand{\convprob}[1]{\stackrel{#1-\text{prob}}{\rightarrow}} \newcommand{\Cov}{\mathbb{C}\mathrm{ov}} \newcommand{\cro}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\CPE}[2]{\PE\lr{#1| #2}} \renewcommand{\det}{\mathrm{det}} \newcommand{\dimlabel}{\mathsf{m}} \newcommand{\dimU}{\mathsf{q}} \newcommand{\dimX}{\mathsf{d}} \newcommand{\dimY}{\mathsf{p}} \newcommand{\dlim}{\Rightarrow} \newcommand{\e}[1]{{\left\lfloor #1 \right\rfloor}} \newcommand{\eproof}{\quad \Box} \newcommand{\eremark}{</WRAP>} \newcommand{\eqdef}{:=} \newcommand{\eqlaw}{\stackrel{\mathcal{L}}{=}} \newcommand{\eqsp}{\;} \newcommand{\Eset}{ {\mathsf E}} \newcommand{\esssup}{\mathrm{essup}} \newcommand{\fr}[1]{{\left\langle #1 \right\rangle}} \newcommand{\falph}{f} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \newcommand{\hchi}{\hat \chi} \newcommand{\Hset}{\mathsf{H}} \newcommand{\Id}{\mathrm{Id}} \newcommand{\img}{\text{Im}} \newcommand{\indi}[1]{\mathbf{1}_{#1}} \newcommand{\indiacc}[1]{\mathbf{1}_{\{#1\}}} \newcommand{\indin}[1]{\mathbf{1}\{#1\}} \newcommand{\itemm}{\quad \quad \blacktriangleright \;} \newcommand{\jointtrans}[3]{p_{#1}(#2,#3)} \newcommand{\ker}{\text{Ker}} \newcommand{\klbck}[2]{\mathrm{K}\lr{#1||#2}} \newcommand{\law}{\mathcal{L}} \newcommand{\labelinit}{\pi} \newcommand{\labelkernel}{Q} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \newcommand{\lone}{\mathsf{L}_1} \newcommand{\lp}[1]{\mathsf{L}_{{#1}}} \newcommand{\lrav}[1]{\left|#1 \right|} \newcommand{\lr}[1]{\left(#1 \right)} \newcommand{\lrb}[1]{\left[#1 \right]} \newcommand{\lrc}[1]{\left\{#1 \right\}} \newcommand{\lrcb}[1]{\left\{#1 \right\}} \newcommand{\ltwo}[1]{\PE^{1/2}\lrb{\lrcb{#1}^2}} \newcommand{\Ltwo}{\mathrm{L}^2} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mcbb}{\mathcal B} \newcommand{\mcf}{\mathcal{F}} \newcommand{\meas}[1]{\mathrm{M}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\normmat}[1]{{\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert #1 \right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}} \newcommand{\nset}{\mathbb N} \newcommand{\N}{\mathcal{N}} \newcommand{\one}{\mathsf{1}} \newcommand{\PE}{\mathbb E} \newcommand{\pminfty}{_{-\infty}^\infty} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\projorth}[1]{\mathsf{P}^\perp_{#1}} \newcommand{\Psif}{\Psi_f} \newcommand{\pscal}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\pscal}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\psconv}{\stackrel{\PP-a.s.}{\rightarrow}} \newcommand{\qset}{\mathbb Q} \newcommand{\revcondtrans}[3]{q_{#1}(#2|#3)} \newcommand{\rmd}{\mathrm d} \newcommand{\rme}{\mathrm e} \newcommand{\rmi}{\mathrm i} \newcommand{\Rset}{\mathbb{R}} \newcommand{\rset}{\mathbb{R}} \newcommand{\rti}{\sigma} \newcommand{\section}[1]{==== #1 ====} \newcommand{\seq}[2]{\lrc{#1\eqsp: \eqsp #2}} \newcommand{\set}[2]{\lrc{#1\eqsp: \eqsp #2}} \newcommand{\sg}{\mathrm{sgn}} \newcommand{\supnorm}[1]{\left\|#1\right\|_{\infty}} \newcommand{\thv}{{\theta_\star}} \newcommand{\tmu}{ {\tilde{\mu}}} \newcommand{\Tset}{ {\mathsf{T}}} \newcommand{\Tsigma}{ {\mathcal{T}}} \newcommand{\ttheta}{{\tilde \theta}} \newcommand{\tv}[1]{\left\|#1\right\|_{\mathrm{TV}}} \newcommand{\unif}{\mathrm{Unif}} \newcommand{\weaklim}[1]{\stackrel{\mathcal{L}_{#1}}{\rightsquigarrow}} \newcommand{\Xset}{{\mathsf X}} \newcommand{\Xsigma}{\mathcal X} \newcommand{\Yset}{{\mathsf Y}} \newcommand{\Ysigma}{\mathcal Y} \newcommand{\Var}{\mathbb{V}\mathrm{ar}} \newcommand{\zset}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zset}{\mathsf{Z}} $$

2023/11/14 18:37

Foundation of Machine Learning

Program of the course

  • Where? PC 40
  • When? Sept 2022-Dec 2022
PC Doc Additional Links
1 PC1 Leave One Out Cross Validation (LOOCV) and Cook's distance
2 PC2 A useful result on maximisation
3 KKT
4 PC4
5 Computer session tpfondmachlearn.pdf
6 PC6 A useful result for the consistency of Decision Trees, Max-bounds for the normal distribution.
7 PC7 Handwritten notes on the solutions of PC7 All to be known about pca
8 PC8 Some properties on the determinant of symmetric positive matrices
9 xgboost Many interesting videos can be found on statquest.

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Randal Douc randal.douc At polytechnique.edu
2024/10/16 18:43 · 0 Comments
,
Question 1

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Q C U V Z
2024/10/07 19:17 · rdouc

Commandes essentielles pour Emacs

Emacs est un éditeur de texte très puissant et extensible. Il offre une large gamme de commandes pour naviguer, éditer et manipuler du texte. Voici les commandes essentielles pour travailler efficacement avec Emacs.

  1. `C-f` : Déplace le curseur d'un caractère vers la droite. 
    C-f
  2. `C-b` : Déplace le curseur d'un caractère vers la gauche. 
    C-b
  3. `C-n` : Déplace le curseur d'une ligne vers le bas. 
    C-n
  4. `C-p` : Déplace le curseur d'une ligne vers le haut. 
    C-p
  5. `M-f` : Déplace le curseur d'un mot vers la droite. 
    M-f
  6. `M-b` : Déplace le curseur d'un mot vers la gauche. 
    M-b
  7. `C-a` : Déplace le curseur au début de la ligne. 
    C-a
  8. `C-e` : Déplace le curseur à la fin de la ligne. 
    C-e
  9. `M-<` : Va au début du fichier. 
    M-<
  10. `M→` : Va à la fin du fichier. 
    M->

Modes d'édition

  1. `C-d` : Supprime le caractère sous le curseur. 
    C-d
  2. `M-d` : Supprime jusqu'à la fin du mot suivant. 
    M-d
  3. `C-k` : Supprime jusqu'à la fin de la ligne. 
    C-k
  4. `C-<backspace>` : Supprime le mot précédent. 
    C-<backspace>
  5. `C-/` ou `C-x u` : Annule la dernière action. 
    C-/
    C-x u
  6. `C-y` : Colle le texte précédemment coupé ou copié. 
    C-y
  7. `M-y` : Cycle à travers les éléments précédemment collés (utilisé après `C-y`). 
    M-y

Copier et Coller

  1. `C-space` : Marque le début de la sélection. 
    C-space
  2. `C-w` : Coupe la région sélectionnée. 
    C-w
  3. `M-w` : Copie la région sélectionnée. 
    M-w
  4. `C-y` : Colle le texte précédemment coupé ou copié. 
    C-y

Rechercher et Remplacer

  1. `C-s` : Lance la recherche en avant. Tapez le texte à rechercher, puis appuyez sur `C-s` pour trouver la prochaine occurrence. 
    C-s
  2. `C-r` : Lance la recherche en arrière. Tapez le texte à rechercher, puis appuyez sur `C-r` pour trouver la précédente occurrence. 
    C-r
  3. `M-%` : Lance la commande de remplacement. Vous serez invité à entrer le texte à remplacer et le texte de remplacement. 
    M-%

Sauvegarde et Sortie

  1. `C-x C-s` : Sauvegarde le fichier courant. 
    C-x C-s
  2. `C-x C-c` : Quitte Emacs. Si des fichiers ont été modifiés, vous serez invité à les sauvegarder. 
    C-x C-c
  3. `C-x k` : Ferme le tampon (fichier) courant. Vous serez invité à confirmer la fermeture si le fichier a été modifié. 
    C-x k

Ces commandes couvrent les opérations de base pour éditer des fichiers avec Emacs. Elles devraient vous aider à naviguer, éditer et manipuler du texte efficacement dans cet éditeur puissant.

Commandes intermédiaires pour Emacs

Pour les utilisateurs d'Emacs qui ont déjà une bonne maîtrise des commandes de base, voici une sélection de commandes intermédiaires pour améliorer votre efficacité et tirer parti des fonctionnalités plus avancées d'Emacs.

  1. `M-g g` : Aller à une ligne spécifique dans le fichier. Vous serez invité à entrer le numéro de ligne. 
    M-g g
  2. `C-M-f` : Déplace le curseur au début du prochain paragraphe. 
    C-M-f
  3. `C-M-b` : Déplace le curseur au début du paragraphe précédent. 
    C-M-b
  4. `C-M-a` : Déplace le curseur au début du bloc de code ou du paragraphe courant. 
    C-M-a
  5. `C-M-e` : Déplace le curseur à la fin du bloc de code ou du paragraphe courant. 
    C-M-e

Modes d'édition Avancés

  1. `C-x C-t` : Échange les deux lignes autour du curseur. 
    C-x C-t
  2. `M-<left>` / `M-<right>` : Réduit ou agrandit le texte (repli/extension) dans le mode de texte structuré. 
    M-<left>
    M-<right>
  3. `C-x C-o` : Supprime les espaces blancs excessifs avant le curseur. 
    C-x C-o

Gestion des Tampons (Buffers)

  1. `C-x b` : Changer de tampon (fichier) en entrant son nom. 
    C-x b
  2. `C-x k` : Ferme un tampon spécifique. Vous serez invité à confirmer si le tampon a été modifié. 
    C-x k
  3. `C-x C-b` : Affiche la liste des tampons ouverts. 
    C-x C-b
  4. `M-x ibuffer` : Ouvre une interface améliorée pour gérer les tampons. 
    M-x ibuffer

Fenêtres et Buffers Multiples

  1. `C-x 2` : Divise la fenêtre en deux fenêtres horizontales. 
    C-x 2
  2. `C-x 3` : Divise la fenêtre en deux fenêtres verticales. 
    C-x 3
  3. `C-x o` : Déplace le curseur à la fenêtre suivante. 
    C-x o
  4. `C-x 1` : Ferme toutes les fenêtres sauf celle active. 
    C-x 1
  5. `C-x 0` : Ferme la fenêtre active. 
    C-x 0

Manipulation de Texte

  1. `M-@` : Sélectionne le mot sous le curseur. 
    M-@
  2. `C-M-space` : Sélectionne la région en mode visuel. 
    C-M-space
  3. `C-M-w` : Copie la région sélectionnée sans la couper. 
    C-M-w
  4. `M-x transpose-chars` : Échange les deux caractères sous le curseur. 
    M-x transpose-chars
  5. `M-x transpose-words` : Échange les deux mots autour du curseur. 
    M-x transpose-words

Rechercher et Remplacer Avancés

  1. `M-x query-replace` : Remplace toutes les occurrences d'un texte par un autre en demandant confirmation pour chaque occurrence. 
    M-x query-replace
  2. `M-x replace-regexp` : Remplace les occurrences d'une expression régulière par un autre texte. 
    M-x replace-regexp
  3. `M-x occur` : Affiche toutes les occurrences d'une expression régulière dans une fenêtre séparée. 
    M-x occur

Macros et Automatisation

  1. `C-x (` : Débute l'enregistrement d'une macro. 
    C-x (
  2. `C-x )` : Termine l'enregistrement de la macro. 
    C-x )
  3. `C-x e` : Exécute la dernière macro enregistrée. 
    C-x e
  4. `C-u N C-x e` : Exécute la dernière macro `N` fois. 
    C-u N C-x e

Gestion des Fichiers

  1. `C-x C-w` : Sauvegarde le fichier courant sous un nouveau nom. 
    C-x C-w
  2. `M-x find-file` : Ouvre un fichier en demandant son chemin. 
    M-x find-file

Ces commandes intermédiaires vous aideront à utiliser Emacs plus efficacement en exploitant des fonctionnalités avancées pour la navigation, l'édition et la gestion des tampons. Elles vous permettent de personnaliser et d'optimiser votre expérience d'édition.

2024/09/04 11:02 · rdouc

Commandes essentielles pour vi

L'éditeur `vi` est un éditeur de texte puissant et flexible qui fonctionne en modes différents : le mode commande et le mode insertion. Voici les commandes essentielles pour naviguer, éditer et sauvegarder vos fichiers avec `vi`.

Modes de vi

  1. Mode commande : Le mode par défaut lorsque vous ouvrez un fichier avec `vi`. Vous pouvez y naviguer et exécuter des commandes.
  2. Mode insertion : Le mode où vous pouvez entrer du texte. Vous passez en mode insertion en utilisant certaines commandes de mode commande.
  3. `Esc` : Passe du mode insertion au mode commande. 
    Esc

Commandes de navigation

  1. `h` : Déplace le curseur vers la gauche. 
    h
  2. `j` : Déplace le curseur vers le bas. 
    j
  3. `k` : Déplace le curseur vers le haut. 
    k
  4. `l` : Déplace le curseur vers la droite. 
    l
  5. `gg` : Va au début du fichier. 
    gg
  6. `G` : Va à la fin du fichier. 
    G
  7. `$0$` : Va au début de la ligne courante. 
    0
  8. `$` : Va à la fin de la ligne courante. 
    $
  9. `w` : Déplace le curseur au début du mot suivant. 
    w
  10. `b` : Déplace le curseur au début du mot précédent. 
    b

Modes d'insertion

  1. `i` : Passe en mode insertion avant le curseur. 
    i
  2. `I` : Passe en mode insertion au début de la ligne. 
    I
  3. `a` : Passe en mode insertion après le curseur. 
    a
  4. `A` : Passe en mode insertion à la fin de la ligne. 
    A
  5. `o` : Ouvre une nouvelle ligne sous la ligne courante et passe en mode insertion. 
    o
  6. `O` : Ouvre une nouvelle ligne au-dessus de la ligne courante et passe en mode insertion. 
    O
  7. `Esc` : Passe du mode insertion au mode commande. 
    Esc

Commandes d'édition

  1. `x` : Supprime le caractère sous le curseur. 
    x
  2. `dd` : Supprime la ligne courante. 
    dd
  3. `d` `w` : Supprime jusqu'au début du mot suivant. 
    d w
  4. `u` : Annule la dernière commande. 
    u
  5. `Ctrl + r` : Rétablit la dernière commande annulée. 
    Ctrl + r
  6. `p` : Colle le texte précédemment coupé ou copié après le curseur. 
    p
  7. `P` : Colle le texte précédemment coupé ou copié avant le curseur. 
    P

Copier et Coller

  1. `yy` : Copie la ligne courante dans le tampon. 
    yy
  2. `Nyy` : Copie `N` lignes à partir de la ligne courante dans le tampon. 
    Nyy
  3. `v` : Entrez en mode visuel pour sélectionner un texte. 
    v
  4. `d`: Coupe le texte sélectionné dans la tampon. 
     d
  5. `y` : Copie le texte sélectionné dans le tampon. 
    y
  6. `p` : Colle le texte du tampon après la position du curseur. 
    p
  7. `P` : Colle le texte du tampon avant la position du curseur. 
    P

Commandes de recherche et de remplacement

  1. `/mot` : Recherche le `mot` dans le fichier. 
    /mot
  2. `n` : Passe au résultat suivant de la recherche. 
    n
  3. `N` : Passe au résultat précédent de la recherche. 
    N
  4. `:s/ancien/nouveau/` : Remplace la première occurrence de `ancien` par `nouveau` sur la ligne courante. 
    :s/ancien/nouveau/
  5. `:s/ancien/nouveau/g` : Remplace toutes les occurrences de `ancien` par `nouveau` sur la ligne courante. 
    :s/ancien/nouveau/g
  6. `:%s/ancien/nouveau/g` : Remplace toutes les occurrences de `ancien` par `nouveau` dans tout le fichier. 
    :%s/ancien/nouveau/g

Sauvegarde et sortie

  1. `:w` : Sauvegarde les modifications sans quitter. 
    :w
  2. `:q` : Quitte `vi` si aucune modification n'a été faite. 
    :q
  3. `:wq` ou `:x` : Sauvegarde les modifications et quitte `vi`. 
    :wq
    :x
  4. `:q!` : Quitte `vi` sans sauvegarder les modifications. 
    :q!

Ces commandes couvrent les opérations de base pour éditer des fichiers avec `vi`. Elles devraient vous aider à naviguer efficacement et à modifier des fichiers en utilisant cet éditeur puissant.

2024/09/04 10:43 · rdouc

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world/subworld.1584636617.txt.gz · Last modified: 2022/03/16 01:37 (external edit)

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